Movimiento Armónico Simple (M.A.S)

1 Introducción:

El movimiento armónico simple (o, abreviadamente, M.A.S.) es el descrito por una partícula que se mueve a lo largo de una recta verificando la ley de Hooke

Por tratarse de un movimiento rectilíneo, puede reducirse el movimiento a una sola componente

        

de forma que la ecuación de movimiento se reduce a

        

La solución de esta ecuación diferencial, con las condiciones iniciales

     es la forma general de un movimiento armónico simple. 

Conceptos básicos:

Podemos presentar dos definiciones para MAS:

Def. 1

El movimiento se realiza por una partícula sometida a una fuerza proporcional al desplazamiento y de signo opuesto. La fuerza del MAS es del tipo: F∝x$F\propto x$ , y x$x$ , el desplazamiento desde la posición de equilibrio. Notación: El símbolo " ∝$\propto$ " se refiere a la proporcionalidad.

Def. 2

Se llama MAS a cualquier movimiento que sigue una ley representada por una función sinusoidal (o cosenoidal) del tipo:

x=Asen(ωt+θ0)$$x=Asen(\omega t+{\theta }_0)$$

o

x=Acos(ωt+θ0)$$x=Acos(\omega t+{\theta }_0)$$

Otras definiciones importantes son:

Movimiento periódico

Es todo movimiento donde se repite la misma situación en intervalos de tiempo iguales.

Movimiento oscilatorio (vibración)

Todo movimiento simétrico alrededor de un punto de equilibrio.

Funciones dependientes del tiempo del MAS:

Para escribir la función de tiempo del MAS se necesita saber:

Amplitud ( A$A$ )

del MAS es la medida del desplazamiento del origen del sistema hasta el punto máximo.

Fase inicial ( θ0${\theta }_0$ ):

Es el desvío del cuerpo de la posición de equilibrio en el tiempo inicial, t=0$t=0$ .

La velocidad angular ( ω$\omega$ ):

Es la "pulsación" o la frecuencia angular del movimiento. Que es dada por

ω=2πτ=2πf,$$\omega =\frac{2\pi }{\tau }=2\pi f,$$

donde τ$\tau$ es el período y f$f$ es la frecuencia de movimiento.

Con esto, tenemos que:

Elongación ( x$x$ )

es la distancia del sistema al punto de equilibrio, y se da por

x=Acos(ωt+θ0).$$x=Acos(\omega t+{\theta }_0).$$

Velocidad ( v$v$ )

v=−ωAsen(ωt+θ0)$v=-\omega Asen(\omega t+{\theta }_0)$

Aceleración ( a$a$ )

a=−ω2Acos(ωt+θ0)$a=-{\omega }^{2}Acos(\omega t+{\theta }_0)$

Velocidad de elongación en función del tiempo:

v=ω2(A2−x2)$v={\omega }^2(A^2-x^2)$

Velocidad en los puntos de inversión:

v=0$v=0$

La velocidad en el punto central:

v=±ω2x$v=\pm {\omega }^{2}x$ (Max y Min)

Aceleración en función de la elongación:

a=−ω2x$a=-{\omega }^{2}x$

Aceleración en función de la elongación:

a=±ω2A$a=\pm {\omega }^{2}A$ (max y min).

La aceleración en el punto medio:

a=0

Mapa Conceptual:

Características de un movimiento armónico simple:

Vibración u oscilación: Distancia recorrida por la partícula en un movimiento completo de vaivén. 

Centro de oscilación, O: Pto medio de la distancia que separa las dos posiciones extremas alcanzadas por la partícula móvil

Elongación, y. Distancia que en cada instante separa la partícula móvil del centro de oscilación O, tomado como origen de las elongaciones. Coordenada de la posición de la partícula en un momento dado . Consideramos positivos las valores de esta coordenada a la derecha del pto O y negativos a la izquierda.

Amplitud A, valor máximo de la elongación.

Periodo T, tiempo empleado por la partícula en efectuar una oscilación completa.

Frecuencia, f o n, número de oscilaciones efectuadas en la unidad de tiempo. Inversa del periodo f = 1/T (Hz)

Pulsación o frecuencia angular o velocidad angular, w, N° de periodos comprendidos entre 2π unidades de tiempo. ω = 2.π/T = 2.π.f.rard/s.

corrección:

ejercicios explicados: